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平面坐標旋轉公式推導

發布時間:2023-04-11 15:40:32 最后更新:2023-04-11 15:44:35 瀏覽次數:2981





3D坐標繞軸旋轉公式推導

繞軸旋轉實際上等價于平面點繞遠點旋轉,所以這里只用分析一下平面情況就可以。

問題轉換為:平面上任意點(x,y)繞原點旋轉R度后,新點坐標為多少?

一、通常情況,我們容易想到一下的推導方式(我一開始想到的),請看下圖:

 

綠色的點為原始點(x,y),轉過r度后到藍色的點的位置,我一開始想到的是先求出初始點(綠色的點)的初始角度a,然后計算出半徑,根據三角關系可以得到新點的坐標。

關系式:

a=arctan(y/x)
radio=sqrt(x*x+y*y)
新點:x’=radio*Cos(a+r); y’=radio*Sin(a+r)

看起來貌似可以,但是編程處理旋轉問題時發現了嚴重的問題,在求a的時候用了x做分母,所以就限定了x不等于0,這就不好了。

二、直角坐標系求解

思考了一天,不知道如何解決分母的問題,突然回想起來以前學過坐標變換,恍然大悟,汗一個。

還是需要通過幾何關系來進行求解,可以避免定義域不連續的問題,無圖無真相!

 

注釋:圖中紅色的點為初始點,粉色的為新點,黑色的線為初始坐標系,紅色的線為假想坐標系,黃色的線都是垂線。

在坐標變換中,我們可以換一種思考方式,點的旋轉實際上可以理解為坐標系旋轉到新的位置,然后求到新點相對于老坐標系的坐標即可。
圖中我們很容易得到標注的兩個角度相等,新點的橫坐標X’等于下面尺寸標注的X*Cos(φ)-兩條黃色的垂線間的距離,而這段距離我們可以在紅色的新坐標系中很容易求出distance=Y * Sin(φ),所以很容易就得到了新點的橫坐標

X’=X*Cos(φ)-Y*Sin(φ)          式①

同理,得到

Y’=X*Sin(φ)+Y*Cos(φ)          式②

式①和式②就是平面任一點繞原點旋轉的方程。

對于3D坐標中,這便是繞Z軸旋轉的公式

X’=X*Cos(φ)-Y*Sin(φ)

Y’=X*Sin(φ)+Y*Cos(φ)

Z’=Z

對于繞其他軸旋轉的公式都可以用此方法得到。

三、

 

采用三角函數展開將會得到更簡單的求解方法,

X'=Radio*Cos(r+a)
=Radio*(Cos( r)*Cos(a)-Sin( r)*Sin(a))
=Radio*Cos(a)*Cos( r)-Radio*Sin(a)*Sin( r)
=X*Cos( r)-Y*Sin( r)

同理得到

Y’=Radio*Sin(r+a)
=X*Sin( r)+Y*Cos( r)

看來真是要溫故而知新!

 


坐標旋轉公式

x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y;

y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x;

其中x,y表示物體相對于旋轉點旋轉angle的角度之前的坐標,x1,y1表示物體旋轉angle后相對于旋轉點的坐標

 

從數學上來說,此公式可以用來計算某個點繞另外一點旋轉一定角度后的坐標,例如:A(x,y)繞B(a,b)旋轉β度后的位置為C(c,d),則x,y,a,b,β,c,d有如下關系式:


1。設A點旋轉前的角度為δ,則旋轉(逆時針)到C點后角度為δ+β

2。求A,B兩點的距離:dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

3。求C,B兩點的距離:dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

4。顯然dist1=dist2,設dist1=r所以:

r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

5。由三角函數兩角和差公式知:

sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)

cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)

所以得出:

c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)

d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

即旋轉后的坐標c,d只與旋轉前的坐標x,y及旋轉的角度β有關

 

從圖中可以很容易理解出A點旋轉后的C點總是在圓周上運動,圓周的半徑為|AB|,利用這點就可以使物體繞圓周運動,即旋轉物體。

 

上面公式是相對于B點坐標來的,也就是假如B點位(0,0)可以這么做。現在給出可以適合任意情況的公式:

x0 = dx * cos(β) - dy * sin(β)

y0 = dy * cos(β) + dx * sin(β)

 

參數解釋:

x0,y0是旋轉后相對于中心點的坐標,也就是原點的坐標,但不是之前點旋轉后的實際坐標,還要計算一步,

β旋轉角度,可以是順時針或者逆時針。

dx是旋轉前的x坐標-旋轉后的x坐標

dy是旋轉前的y坐標-旋轉后的y坐標

x1=a+x0;

y1=b+y0;

上面才是旋轉后的實際坐標,其中a,b是原點坐標

 

下面是上面圖的公式解答:

x0=(x-a)*cos(β)-(y-b)*sin(β);

y0=(y-b)*cos(β)+(x-a)*sin(β);

x1=x0+a;

y1=y0+b;

 

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